La transformada de Fourier es una operación matemática fundamental para algunas disciplinas como las telecomunicaciones o la física. Sin ella no existirían las telecomunicaciones modernas, no solo Internet o la telefonía móvil, sino la propia telefonía convencional, que no habría podido evolucionar más allá de una forma de comunicación local y no habrían existido las llamadas de larga distancia.
Aunque esta operación matemática debe su nombre al matemático Joseph Fourier, lo cierto es que muchos han contribuido a su invención, entre ellos Euler, Bernoulli, Lagrange y Gauss. Fourier tuvo un papel esencial, al inventar las series de Fourier, donde una función periódica se podía descomponer en la suma de funciones trigonométricas. La transformada de Fourier generaliza este concepto.
El problema de esta transformada es que las matemáticas detrás de ella son bastante avanzadas. Solo hay que echar un vistazo a la expresión matemática para visualizar todo lo que hay detrás. La voy a poner aquí pero también adelanto que a lo largo de este artículo veremos una explicación sencilla, tanto del concepto como de las matemáticas detrás de ella:
La transformada de Fourier, aplicaciones
Sin entrar a valorar las matemáticas detrás de ellas, lo que permite la transformada de Fourier es convertir cualquier función matemática a otro domino, denominado el dominio de la frecuencia. Esto facilita tratar y analizar las funciones de una forma alternativa. Como es muy genérico vamos a poner algún ejemplo.
Un ingeniero de sonido puede tener una grabación de audio con mucho ruido, por ejemplo porque había un pitido en el ambiente. Estos ruidos muchas veces pueden eliminarse, pero para ello habría que separar la parte del sonido deseada y la que se quiere eliminar. Esta separación muchas veces es imposible por métodos convencionales, ya que la señal que se tiene está ya sumada, y sin saber una de las partes es imposible eliminar la otra.
Sin embargo con la transformada de Fourier se puede ver la señal en el dominio de la frecuencia, es decir, descomponiendo la señal en las distintas frecuencias que la componen (los sonidos graves y agudos). Viendo la señal en este dominio es posible que el ruido, que puede tener solo algunos componentes frecuenciales, se vea claramente separado, y por tanto se pueda filtrar, y volver de nuevo al domino temporal, teniendo así una señal limpia de ruido.
En telecomunicaciones pasa algo parecido. Se pueden transmitir señales en el aire a través de ondas electromagnéticas separándolas en distintas frecuencias. Esto permite utilizar todo el espectro radioeléctrico para transmitir señales y poder tener así en el aire señales de radio, televisión, telefonía móvil y wifi (por ejemplo) en un ambiente dado pero que cada aparato electrónico escuche lo que necesita. Todos los aparatos electrónicos tienen elementos que son capaces de elegir las frecuencias que necesitan y esto es gracias al desarrollo matemático de la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier de forma sencilla
Está claro que las aplicaciones de la transformada de Fourier son múltiples, pero aún así la expresión matemática es bastante complicada. El Youtuber '3Blue1Brown' ha creado un vídeo de 20 minutos impresionante, en el que se explica de forma gráfica lo que significa la transformada. Pero no se queda únicamente en lo dicho anteriormente, sino que llega a explicar de manera muy sencilla lo que significa la integral aparentemente tan complicada que vimos al principio.
Son 20 minutos muy intensos e interesantes que permiten visualizar de una forma gráfica lo que significa la transformada de Fourier y cómo se logra a través de ella separar las componentes frecuenciales de una función. Es como la magia de lograr separar los colores de una mezcla. Podéis verlo a continuación:
Básicamente lo que explica el vídeo es lo siguiente: primero, que las funciones (que pueden ser magnitudes físicas como ondas de sonido) se pueden descomponer en sumas de funciones trigonométricas (senos y cosenos). El problema es que separarlas no es fácil. El ejemplo que pone es realmente bueno: si mezclas dos pinturas obtienes un nuevo color, pero a partir de esta mezcla es imposible obtener los colores originales.
Lo siguiente que explica es una forma gráfica de representar las funciones en un plano xy, de forma que podamos ver en los siguientes pasos lo que es la transformada de Fourier. Y es que la transformada de Fourier es buscar el centro de masa de esta representación xy.
La clave está en que la representación xy se puede hacer de muchas formas (enrollando más o menos la función) pero cuando se hace a un ritmo similar a la frecuencia fundamental que contiene la función, este centro de masa se desplaza, dando un máximo en la representación frecuencial. Explicarlo en palabras es difícil, pero la claridad del vídeo es asombrosa.
Por último, el vídeo es capaz de relacionar esta representación gráfica de compactar una función en un plano xy con la fórmula comentada al principio que representa la transformada de Fourier.
El vídeo merece mucho la pena e incluso gente que ha trabajado con ella han visto la luz y entienden mucho mejor lo que significa esta expresión gracias al mismo. Espero que os resulte tan clara como a tantos otros.
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45 comentarios
Gonzalo Lara
Está feo que lo diga, pero soy ingeniero de telecomunicaciones y alguna idea de las que se explican en el video no las había comprendido totalmente en mis días de estudiante (con lo cual pasabas de puntillas sobre ellas cuando aparecían en algún examen). Es curioso que 4 o 5 años depués de haber estudiado esto estoy... cerrando el círculo y entendiendo gráfica e intuitivamente aquellas ideas que para mi en su día eran bastante astractas y complicadas. No dejamos de aprender nunca.
Excelente artículo. Mi más sincera enhorabuena al creador.
Usuario desactivado
Y esto es sólo para las frecuencias...
Cuando se estudia en profundidad todo lo que hay implicado en algo tan aparentemente sencillo como un teléfono o una TV se valora mucho mas la tecnología de la que disponemos, y no se apresura uno tanto a criticar tecnologías.
Carlos
3blue1brown es un canal muy bueno de matemáticas. Ya compartí por aquí un vídeo sobre las criptomonedas.
Es curioso cómo tiempo después de haber "estudiado" los conceptos, es ahora, cuando no tengo ninguna presión por exámenes, cuando los entiendo al 100%. Antes simplemente entendía lo suficiente para poder hacer los problemas y aprobar el examen.
PD.: las animaciones las hace con python
klaithal
3blue1Brown es un gran canal de matemáticas. Yo recomiendo encarecidamente sus dos series sobre álgebra lineal y cálculo. Es, básicamente, el profesor definitivo: conocedor de la materia, magnífico comunicador y apasionado.
Ojalá hubiera estado cuando estudié la carrera.
Por cierto, xataka, el vídeo tiene más de un año. La noticia es que lo habéis descubierto ahora, no que alguien lo "haya hecho".
nada
No tengo ni idea de matemáticas, mucho menos de fórmulas matemáticas, y todavía menos de cómo construirlas... dicho esto, resumo lo que siento:
Ver este vídeo, y comprender por primera vez que no haber entendido las matemáticas como se merecen, me hace pensar que sería algo parecido a no oir nada por algún problema de audición, y tras ser operado... oir por primera vez a Mozart...
Como no haber visto nunca, por problemas de visión y tras ser operado, ver las caras de tus familia...
IMPRESIONANTE darme cuenta que no hay alumnos mediocres, si no profesores inadecuados (salvo excepciones, claro está).
Con un profesor como este, o sus vídeos explicados con el apoyo de un profesor "tipo estandar"... TODO... resultaría más comprensible, y dejaríamos de hacer de forma repetida y "de carrerilla" muchas de las cosas que hacemos a diario, porque "alguien" ya pensó eso, y que damos por echo aún sin entenderlo.
Gracias por el artículo y por mostrar el vídeo en él. Felicidades :)
cs122
domino = dominio
jose.saez.3194
Ojalá hubiese existido este vídeo en mis tiempos de estudiante de ingeniería electrónica, Teoría de Circuitos habría sido mucho más llevadera. Aún así, creo que ahora, sin presión y con el tiempo que me haga falta, disfruto más viendo cosas así y aprendiendo
Usuario desactivado
La Transformada de Fourier es sencilla, hay cosas bastante más complejas.
cs122
¡Excelente artículo! Vi el vídeo hace muy poco tiempo en Hackaday y me encantó. Muchísimas gracias por practicar la divulgación de calidad.
sanamarcar
Normal la mayoría de la gente y lo digo como híbrido entre alumno y profesor, van a las clases a chapar. Entender y que te motiven a hacerlo lleva tiempo y ganas. Y cada vez hay menos.. pero siempre hay excepciones.
de_paso_por_aqui
Entre solo para saber que era "la Transformada de Fourier" ....sigo sin saber que son :V
sanamarcar
Yo no he aprendido mucho, eso es bueno no? XD. Es que yo lo había estudiado bien...
mosoma
¡Genial! Mucho mejor que simplemente dar la fórmula y decir que se produce un cambio de variable. Veré más vídeos de este señor, sin duda.
patogarza
🥱
funcion_de_particion
Si os interesa el tema, otra aplicación se da en el mundo de la física del estado sólido. Cuando describes un sólido como una estructura cristalina de forma general se hace en el dominio directo, pero aplicando la transformada de Fourier se puede obtener una estructura en otro dominio y se le conoce como red recíproca. Gracias a esta red recíproca se pueden explicar entre otras cosas los fenómenos de difracción y con ello desarrollar técnicas de cristalografia por ejemplo.
enertecs
fourier un grande.
fxesc
Me parece genial el vídeo. La de dolores de cabeza que me hubiera ahorrado este vídeo hace unos años !!
Víctor Demóstenes
Fenomenal artículo y vídeo. ¡Felicidades!
jubete
Ese video es un cúmulo de falsedades. La transformada de Fourier es, junto al velcro y las matemáticas de números primos de la criptografía de clave pública, inventos que nos han legado los extraterrestres y que ningún humano entiende. Algunos fingen entenderlos, pero todos sabemos que solo lo fingen.
¡No os dejéis engañar!
PD: No me jodáis que un humano puede poner en una única fórmula un par de infinitos, una integral, e, pi, i y un garabato griego y saber por qué lo ha hecho...
PD2: Yo entiendo para qué sirve la transformada y de hecho la he programado, he visto el video unas cuantas veces hace tiempo, pero entender las matemáticas detrás de ella...